Nieskończoność

Czym tak właściwie jest nieskończoność? Jest to byt nieograniczony, coś nieobliczalnego, niczym nasi drodzy nauczyciele matematyki.

1m

Skoro już znamy symbol i definicję, przejdźmy krok dalej: czy nieskończoność jest tylko jedna? Wielu zapewne odpowie, że tak, no bo przecież jak mogą być dwie, trzy, czy kto wie ile tych nieskończoności?

A odpowiedź brzmi: nie. Nieskończoności jest wiele – mniejsze, większe, po prostu różne. To jeszcze na koniec tej części zarzucę jednym z paradoksów jej dotyczących:

Zbiorem liczb nieskończonych jest zbiór liczb naturalnych, to wiemy. Wiemy również, że dzieli się on na 2 podzbiory, to jest liczb parzystych i nieparzystych. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Parzystych również. No i kurczę, nieparzystych też. Czyli ∞ + ∞ = ∞? 

Spróbujcie potem nad tym pomyśleć, tymczasem lecimy dalej!

Liczby całkowite i naturalne – ostoja uczniów po lekcji ciężkich równań, nierówności i nauczyciele wiedzą czego jeszcze. Wydawać by się mogło, że prosta zależność, liczb całkowitych jest 2 razy więcej niż naturalnych. Nic bardziej mylnego – jest ich bowiem tyle samo. Jakoś.

No ale dobrze, zaraz to udowodnimy:

4m

Widzimy u góry kolejne liczby naturalne, a u dołu kolejne liczby całkowite. Teraz próbujemy liczbie N z górnej linijki przypisać liczbę C z linijki dolnej. I teraz okazuje się, że każdej liczbie z tej górnej linijki można przypisać liczbę z dolnej. Możemy tak robić [o zgrozo] w nieskończoność, i zawsze znajdziemy taką parę. Stąd wniosek, że liczb naturalnych jest tyle, ile liczb całkowitych!

Można w podobny sposób udowodnić, że liczb wymiernych jest tyle samo co naturalnych czy całkowitych.

W matematyce mówimy na to zbiory równoliczne.

Nie możemy jednak po prostu argumentować, że liczb N i C jest tyle samo, bo jest ich nieskończenie wiele – jest to błędny tok rozumowania. Po prostu pojęcie „nieskończenie wiele” jest niesprecyzowane. Jak już pisałem wcześniej, nieskończoności jest wiele, mniejszych i większych. Jest nawet możliwe do udowodnienia, że tyle samo co liczb naturalnych, jest wielokrotności liczby 2, 3, czy 4, albo – jak już napominałem – tyle ile liczb wymiernych. Są nawet zbiory, które mają więcej elementów, niż zbiór liczb rzeczywistych! Ale na teraz wystarczy już łapania się za głowę i wyrywania sobie włosów.

Czy to jednak koniec takich blogów?

3m

Czekajcie niecierpliwie na więcej, tymczasem pozdrawiam serdecznie.

M.G

 

 

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

w

Connecting to %s